Информатика и не только..: Тригонометрия (методы решения)

воскресенье, 19 декабря 2010 г.

Тригонометрия (методы решения)

В старой подшивке журналов "Квант" нашел чудесный раздел: "Вступительные задания в Вузы", пожалел о старом, добром экзамене по математике, требующем широких познаний во всех областях математики.
Вот одно из классических заданий по тригонометрии для поступающих в вуз им. Циолковского (1988г.)

Решить уравнение:

sin4x + sin12x + cos4x = 0

Замечание: Понятно, что в конечном итоге должны привести предложенное уравнение к решению простейших уравнений, а именно sinkx=b или coskx=b, tg kx=b
Один из методов решения тригонометрических уравнений - разложение выражения на множители.

Алгоритм решения:
1) Разложить на множители выражение
2) Решить полученные уравнения (более простые)
$sin4x+sin3\cdot 4x+cos4x=0$
применим формулу тройного угла или выведем ее из выражения sin(2x+x), кто что помнит и знает.
$sin3x=3sinx-4sin^3x$

$sin4x+3sin4x-4sin^34x+cos4x=0$
$4sin4x-4sin^34x+cos4x=0$
$4sin4x-4sin^34x+\sqrt{1-sin^24x}=0$
$4sin4x(1-sin^24x)+\sqrt{1-sin^24x}=0$
Вынесем значение $\sqrt{1-sin^24x}$ за скобку
$\sqrt{1-sin^24x}(4sin4x\sqrt{1-sin^24x}+1)=0$
$cos4x(4sin4xcos4x+1)=0$
$cos4x(2sin8x+1)=0$
Вот и разложение на множители!
$cos4x=0$
или
$2sin8x+1=0$

Информатика и не только..

воскресенье, 19 декабря 2010 г.

Тригонометрия (методы решения)

Комментариев нет:

Отправить комментарий

воскресенье, 19 декабря 2010 г.

Тригонометрия (методы решения)

Комментариев нет:

Отправить комментарий

воскресенье, 19 декабря 2010 г.