Информатика и не только..: Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

пятница, 6 января 2012 г.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Задание типовых экзаменационных вариантов ЕГЭ 2012
Решите уравнение
$2sin^2x-7sinxcosx+5cos^2x=0$
Укажите корни, принадлежащие отрезку
$\begin{bmatrix} -2\pi ; & -\frac{\pi }{2} \end{bmatrix}$

Решение:
Уравнения данного типа сводятся к квадратному уравнению, содержащему
переменную $tgx$ , путем деления выражения на $cos^2x$
$\frac{2sin^2x}{cos^2x}-\frac{7sinxcosx}{cos^2x}+\frac{5cos^2x}{cos^2x}=0$

$2tg^2x-7tgx+5=0$

Сделаем замену переменной $tgx=t$

Получим квадратное уравнение: $2t^2-7t+5=0$

Корни квадратного уравнения: $t_{1}=\frac{5}{2}, t_{2}=1$

Вернемся к исходной переменной и найдем общие решения заданного уравнения
$tgx=\frac{5}{2}$
$x=arctg(\frac{5}{2})+\pi k, k\in Z$

$tgx=1$

$x=\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z$

При $k=0,1,2,...$ корни уравнения являются положительными и не принадлежат указанному отрезку

При k= -1
$x=arctg\left ( \frac{5}{2} \right )-\pi \in \begin{bmatrix} -2\pi ; & \frac{-\pi }{2} \end{bmatrix}$
$x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}\in \begin{bmatrix} -2\pi ; & \frac{-\pi }{2} \end{bmatrix}$
При k=-2
$x=arctg\left ( \frac{5}{2} \right )-2\pi \in \begin{bmatrix} -2\pi ; & \frac{-\pi }{2} \end{bmatrix}$

$x=\frac{\pi }{4}-2 \pi =-\frac{7\pi }{4}\in \begin{bmatrix} -2\pi;-\frac{\pi }{2} & \end{bmatrix}$

Замечание: арктангенс положительного числа есть число положительное и меньше П/2

2 комментария:

Наталья Спиридонова10 января 2012 г. в 11:42
Алексей Юрьевич, спасибо за подспорье в работе! Обязательно покажу Ваш блог старшеклассникам.
ОтветитьУдалить
Ответы
Борисыч5 марта 2012 г. в 15:40
Поздравляю вас с зачислением в эстафету "Чудо-блог"! Награду можно получить здесь: http://chimexperiments.blogspot.com/2012/03/blog-post.html
ОтветитьУдалить
Ответы

Добавить комментарий

пятница, 6 января 2012 г.

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени

2 комментария:

пятница, 6 января 2012 г.