Информатика и не только..: Методы решения

суббота, 25 декабря 2010 г.

Тригонометрия

Мотивы разложения на множители прослеживаются и в следующем задании.
Из вступительных заданий в институт космонавтики им.Циолковского.
Решить уравнение:

sin^3x+cos^3x=cos2x

Указание: использовать формулы сокращенного умножения и формулы двойного аргумента тригонометрических функций

$(cosx+sinx)(cos^2x-sinx\cdot cosx+sin^2x)=cos^2x-sin^2x$

$(cosx+sinx)(1-sinx\cdot cosx)-(cosx-sinx)(cosx+sinx)=0$

$(cosx+sinx)(1-sinx\cdot cosx-(cosx-sinx))=0$

$(cosx+sinx)(1-sinx\cdot cosx-cosx+sinx))=0$

(cosx+sinx)(1+sinx-cosx(sinx+1))=0

воскресенье, 19 декабря 2010 г.

Тригонометрия (методы решения)

В старой подшивке журналов "Квант" нашел чудесный раздел: "Вступительные задания в Вузы", пожалел о старом, добром экзамене по математике, требующем широких познаний во всех областях математики.
Вот одно из классических заданий по тригонометрии для поступающих в вуз им. Циолковского (1988г.)

Решить уравнение:

sin4x + sin12x + cos4x = 0

Замечание: Понятно, что в конечном итоге должны привести предложенное уравнение к решению простейших уравнений, а именно sinkx=b или coskx=b, tg kx=b
Один из методов решения тригонометрических уравнений - разложение выражения на множители.

Алгоритм решения:
1) Разложить на множители выражение
2) Решить полученные уравнения (более простые)
$sin4x+sin3\cdot 4x+cos4x=0$
применим формулу тройного угла или выведем ее из выражения sin(2x+x), кто что помнит и знает.
sin3x=3sinx-4sin^3x

$4sin4x-4sin^34x+\sqrt{1-sin^24x}=0$
$4sin4x(1-sin^24x)+\sqrt{1-sin^24x}=0$
Вынесем значение $\sqrt{1-sin^24x}$ за скобку
$\sqrt{1-sin^24x}(4sin4x\sqrt{1-sin^24x}+1)=0$
cos4x(4sin4xcos4x+1)=0